定轴转动中的功和功率

功率是很多设备的关键技术指标，代表着设备的“能力”大小。小到电饭煲、电磁炉，大到飞机、航空母舰的发动机，“它的功率多大”总是成为买家或看客最为关注的问题之一。

结合直线运动中功和功率的概念，我们一起来看看旋转运动中功和功率。

功

功（W）表示能量转化的多少。如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了位移，那么这个力就对物体做了功。

假设物体发生位移的方向与力的方向一致，功的大小可以计算如下：

\[ \begin{equation} W = \int F \ \mathrm{d}r \end{equation} \]

其中，W 是力对物体所做的功，F 是作用在物体上的力，r 是物体在力的方向上发生的位移。

如果力的大小是恒定不变的，上式可以简化为：

\[ W = Fr \]

在旋转运动中，如果一个物体受到扭矩的作用而发生了转动，那么这个扭矩也对物体做了功。功的大小可以计算如下：

\[ \begin{equation} W = \int \tau \ \mathrm{d}\theta \end{equation} \]

其中，τ 是作用在物体上的扭矩，θ 是物体转动的角度。

如果扭矩的大小是恒定不变的，上式可以简化为：

\[ W = \tau \theta \]

在国际单位制中，功的度量单位是焦耳 (J)。

功率

功率 (P) 表示做功的快慢，或者单位时间内对物体做的功。功率的计算公式如下：

\[ \begin{equation} P = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} \end{equation} \]

其中，P 是功率，W 是力对物体做的功，t 是做功所用的时间。

如果物体发生位移的方向与力的方向一致，且力的大小是恒定不变的，上式可以简化为：

\[ \begin{align*} P &= \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} \\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (Fr) \\ &= F \bigg(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\bigg) \\ &= Fv \end{align*} \]

其中，v 是物体运动的速度。

同理，如果扭矩的大小是恒定不变的，旋转运动中功率的计算公式如下：

\[ \begin{align*} P &= \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} \\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\tau\theta) \\ &= \tau \bigg(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\bigg) \\ &= \tau\omega \end{align*} \]

即：

\[ \begin{equation} P = \tau\omega \end{equation} \]

其中，ω 是物体转动的角速度。

在国际单位制中，功率的度量单位是焦耳/秒 (J/s)，也叫做瓦特 (W)。

在上式中，功率的单位是瓦特 (W)，扭矩的单位是牛顿·米 (N·m)，角速度的单位是弧度/秒 (rad/s)。

旋转运动的功率计算公式可以用来计算电动机或发电机的功率，是电机学中最重要的内容之一。